網路流

性質和例子

網路流的性質：有起點和終點，有流量限制。

例子：水流、網速、高速公路。

定義

給定一張圖 $G=(V,E)$，每條邊 $e(u,v)$ 有容量\ $C(u,v)$ 和流量 $F(u,v)$，剩餘流量 $R(u,v)=C(u,v)-F(u,v)$。

給定 $s$ 和匯點 $t$，我們稱網路流為「$s-t$ 網路流」，$s-t$ 網路流的流量 $|f|=$ 源點 $s$ 流出的流量和，$=$ 流進匯點 $t$ 的流量和。

$s-t$ 可行流

給定一個 $s-t$ 網路流，如果符合以下條件，稱為「$s-t$ 可行流」，也就是合法的 $s-t$ 網路流

• 流量限制：$F(u,v)\leq C(u,v)$
• 流量對稱：$F(u,v)=-F(v,u)$
• 流量守衡
  • 非源點 $s$ 和匯點 $t$，流入的流量和等於流出的流量和 流入的流量和等於流出的流量和
  • 源點 $s$ 流出的流量和等於流進匯點 $t$ 的流量和

最大流演算法

如上文所述，一個 $s-t$ 可行流($s-t$ 網路流)的流量 $|f|=$ 源點 $s$ 流出的流量和，$=$ 流進匯點 $t$ 的流量和。在現實例子中，我們希望 $|f|$ 越大越好。

基本想法：重複尋找從 $s$ 到 $t$ 的路徑，計算這條路徑最大流量 $max_f$，$|f|+=max_f$，並將這條路徑所有邊扣除 $max_f$，無法找到一條路徑使 $|f|$ 增加就停止。

但這樣的演算法不一定能找到最大流量，如下圖的最大流量是 $2$，但只找到 $1$ 單位的流量。

為了解決這個問題，我們讓流量可以逆行，根據流量限制和流量對稱，一條邊 $e(u,v)$，反向邊 $e(v,u)$ 的容量 $C(v,u)=0$，流量 $F(v,u)=-F(u,v)$，所有剩餘流量 $>0$ 的邊形成的圖稱為剩餘網路 $G_r$。

藉由逆行的機制，選擇路徑 $1\to 3\to 4$，可以再找到 $1$ 單位的流量。

增廣路徑 (Augmenting Path)

• 假設 $f$ 是可行流，$G_r$ 是 $f$ 的剩餘網路
• $P$ 是$G_r$ 在一條從 $s$ 到 $t$ 的路徑，稱為擴充路徑。
• $max_f=min_{e\in P}r(e)$
• 一條邊 $(u,v)$ 增加流量 $max_f$，代表
  • $F(u,v)+=max_f$
  • $r(u,v)-=max_f$
  • $F(v,u)-=max_f$
  • $r(v,u)+=max_f$

增廣路徑

假設 $G_r$ 是可行流中的剩餘網路，$P$ 是 $G_r$ 在一條從 $s$ 到 $t$ 的路徑，且每一條邊的剩餘流量 $>0$，稱為擴充路徑。

令 $max_f=min_{e(u,v)\in P}r(e(u,v))$ 為擴充路徑的瓶頸流量，也就是為可行流再找到 $max_f$ 的流量。假設 $e(u,v)$ 為 $P$ 上往匯點 $t$ 的邊。

• 所有前往匯點的邊流量加上 $max_f$: $F(u,v)+=max_f,r(u,v)-=max_f$
• 所有離開匯點的邊流量扣除 $max_f$: $F(v,u)-=max_f,r(v,u)+=max_f$

藉由加入反向邊機制和定義增廣路徑，找最大流的演算法雛形誕生：在剩餘網路上找到增廣路徑來擴充流量，直到剩餘網路沒有從 $s\to t$ 的路徑，即獲得最大流。

根據增廣路徑的找法，下列簡述三個演算法：

• Ford-fulkerson：利用 DFS 枚舉增廣路徑，如果流量為實數域無法保證程式會結束，流量為整數域時間複雜度為 $O(Ef)$。
• Edmonds-karp：利用最短路枚舉增廣路徑，時間複雜度 $O(VE^2)$
• Dinic：先做 BFS 將點分層(有向無環圖)，再用 DFS 遍歷搜尋增廣路徑，一次找到多條增廣路徑，時間複雜度為 $O(V^2E)$。

Dinic 演算法實作

using LL = long long;
struct Dinic
{
    int n, s, t, level[MXV], now[MXV];
    struct Edge
    {
        int v;
        LL rf; // rf: residual flow
        int re;
    };
    vector<Edge> e[MXV];
    void init(int _n, int _s, int _t)
    {
        n = _n;
        s = _s;
        t = _t;
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            e[i].clear();
    }
    void add_edge(int u, int v, LL f)
    {
        e[u].push_back({v, f, (int)e[v].size()});
        e[v].push_back({u, f, (int)e[u].size() - 1});
        // for directional graph
        // e[v].push_back({u, 0, (int)e[u].size() - 1});
    }
    bool bfs()
    {
        fill(level, level + n + 1, -1);
        queue<int> q;
        q.push(s);
        level[s] = 0;
        while (!q.empty())
        {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (auto it : e[u])
            {
                if (it.rf > 0 && level[it.v] == -1)
                {
                    level[it.v] = level[u] + 1;
                    q.push(it.v);
                }
            }
        }
        return level[t] != -1;
    }
    LL dfs(int u, LL limit)
    {
        if (u == t)
            return limit;
        LL res = 0;
        while (now[u] < (int)e[u].size())
        {
            Edge &it = e[u][now[u]];
            if (it.rf > 0 && level[it.v] == level[u] + 1)
            {
                LL f = dfs(it.v, min(limit, it.rf));
                res += f;
                limit -= f;
                it.rf -= f;
                e[it.v][it.re].rf += f;
                if (limit == 0)
                    return res;
            }
            else
                ++now[u];
        }
        if (!res)
            level[u] = -1;
        return res;
    }
    LL flow(LL res = 0)
    {
        while (bfs())
        {
            memset(now, 0, sizeof(now));
            res += dfs(s, INF);
        }
        return res;
    }
};

/*
usage
Dinic dinic; // declare
dinic.init(n, s, t); // initialize, n vertexs, start from s to t
dinic.add_edge(x, y, z); // add edge from x to y, weight is z
dinic.flow() // calculate max flow 
*/

變數解釋

• $n,s,t$：點的個數，源點、匯點。
• $level[u]$：BFS 裡用來表示這次點 $u$ 是第幾層。
• $now[u]$：DFS 裡用來表示這次點 $u$ 是第幾層。
• $Edge$：有向邊，存放終點、剩餘流量，反向邊的編號。反向邊的編號用在 DFS 更新反向邊的剩餘流量。

新增邊

• 無向邊：拆成兩條方向相反，剩餘流量相同的有向邊。
• 有向邊：增加正向邊和反向邊。

BFS

• 設源點 $s$ 為第 $0$ 層。
• 將所有和 $s$ 相連且剩餘流量 $>0$ 的點設為第 $1$ 層。
• 將所有和第 $1$ 層的點相連且剩餘流量 $>0$ 的點設為第 $2$ 層。
• 以此類推，已經標記的點不會再標記第 $2$ 次。
• 如果匯點 $t$ 沒有被標記，代表已經找到最大流了。

DFS

• 依據 BFS 的分層標記，遍歷完所有滿足 $s\to$ 第 $1$ 層的點 $\to$ 第 $2$ 層的點 $\to ...\to t$ 的路徑。
• 在往下遞迴時計算瓶頸流量，往上時更新相關邊的剩餘流量。

二分圖最大匹配

設二分圖兩個集合為 $X,Y$，$X$ 集合的所有點和源點連接一條剩餘流量無限大的邊，$Y$ 集合的所有點和匯點連接一條剩餘流量無限大的邊，二分圖原本的邊剩餘流量設為 $1$，最大流即為二分圖最大匹配。

DAG 的最小路徑覆蓋

DAG 的最小路徑覆蓋

給你一張 DAG，請問問最少要幾條路徑才能覆蓋所有點。

分成不相交路徑和相交路徑。

不相交路徑： $1\to 4\to 5,3,2$，共 $3$ 條。

相交路徑： $1\to 4\to 5,3\to 4\to 2$，共 $2$ 條。

不相交路徑：將一個點拆成兩個點，分別代表指向別人的點和被別人指向的點。

一開始每個點都是獨立的路徑，總共有 $V$ 條，在二分圖上找到一條匹配邊，就等於把兩條路徑變成一條，路徑數 $-1$。答案為 $V-$ 最大匹配數。

相交路徑版本：先做一次 Floyd-warshall，如果 $x$ 可以藉由其他點抵達 $y$，建一條 $(x,y)$ 的邊。題目變成頂點不相交的最小路徑覆蓋。

以下圖為例，如果選定了 $3\to 4\to 2$ 作為第一條路徑，$1$ 可以在不經過 $4$ 的情況下連到 $5$。

最小(大)花費最大流

最小(大)花費最大流

每條邊除了流量以外還有單位價錢 $k$。對於每條邊，如果流了 $f$ 的流量就要付 $k\times f$ 的水道維護費，在最大流量的情況下，要讓花費最小(大)。

演算法和 Dinic 相似，改用最短路徑演算法找尋增廣路徑，因為要處裡負邊 (反向邊)，要使用 SPFA。如果要計算最大花費，在一開始把花費乘以 $-1$，算出結果後再乘以 $-1$。

using LL = long long;
struct MCMF
{
    struct Edge
    {
        int u, v;
        LL cost, cap;
    };
    int n, pre[MXV], cnt[MXV];
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[MXV];
    LL dis[MXV], ansFlow, ansCost;
    bitset<MXV> inque;
    void init(int _n)
    {
        n = _n;
        edges.clear();
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
            G[i].clear();
    }
    void addEdge(int u, int v, LL cost, LL cap)
    {
        G[u].push_back(edges.size());
        edges.push_back({u, v, cost, cap});
        G[v].push_back(edges.size());
        edges.push_back({v, u, -cost, 0});
    }
    bool spfa(int s, int t)
    {
        queue<int> q;
        bool negative = false;
        fill(begin(dis), end(dis), INF);
        fill(begin(pre), end(pre), -1);
        fill(begin(cnt), end(cnt), 0);
        inque.reset();
        dis[s] = 0;
        cnt[s] = 1;
        q.push(s);
        inque[s] = true;
        while (!q.empty() && !negative)
        {
            int u = q.front();
            q.pop();
            inque[u] = false;
            for (int i : G[u])
            {
                Edge &e = edges[i];
                int v = e.v;
                LL cost = e.cost, cap = e.cap;
                if (dis[v] > dis[u] + cost && cap > 0)
                {
                    dis[v] = dis[u] + cost;
                    pre[v] = i;
                    if (inque[v])
                        continue;
                    q.push(v);
                    inque[v] = true;
                    ++cnt[v];
                    if (cnt[v] == n + 2)
                    {
                        negative = true;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        return dis[t] != INF;
    }
    LL update(int u, LL limit)
    {
        if (pre[u] == -1)
            return limit;
        int i = pre[u];
        Edge &e = edges[i];
        LL f = update(e.u, min(limit, e.cap));
        ansCost += f * e.cost;
        edges[i].cap -= f;
        edges[i ^ 1].cap += f;
        return f;
    }
    PLL sol(int s, int t)
    {
        ansFlow = ansCost = 0;
        while (spfa(s, t))
            ansFlow += update(t, INF);
        return make_pair(ansFlow, ansCost);
    }
};

/*
usage
MCMF<int> mcmf; // declare
mcmf.init(n); // initialize, n vertexs
mcmf.add_edge(x, y, z); // add edge from x to y, weight is z
mcmf.sol(s, t, d) // calculate cost flow, start from s to t max flow 
*/

變數解釋

• $Edge$：有向邊，存放每條邊的兩端點、費用和剩餘流量。
• $n$：點的個數
• $pre[u]$：SPFA 中，紀錄 $u$ 是被哪個點鬆弛，也可以說是在最短路徑中，$u$ 的父節點。
• $dis[u],inque[u]$：SPFA 中，紀錄從源點 $s$ 流一單位到 $u$ 的最小(大)成本。
• $inque$：用於 SPFA。
• $ansFlow, ansCost$：紀錄最大流和最小(大)成本。

新增邊

• 和 Dinic 新增反向邊的想法類似，差別在於反向邊的成本是原本的成本乘以 $-1$。

SPFA

• 根據成本和流量鬆弛。
• 如果匯點 $t$ 的最小成本 $=\infty$，代表已經找到最小(大)花費最大流。

update

• 根據 $pre$，可以找到一條從匯點 $t$ 到源點 $s$ 的路徑，利用遞迴找到瓶頸流量，再更新最大流和最小(大)花費。

相關題目

LibreOJ 6013

有 $N$ 個環形倉庫，每個倉庫物品數量不等，貨物只能往相鄰的倉庫移動，問最少要搬運多少貨品讓每個倉庫物品數量相同?

算出 $N$ 間倉庫的平均貨物數 $avg=\Sigma a[i]/N$。

對於第 $i$ 間倉庫貨物數 $a[i]$，如果 $a[i]>avg$，建一條從 $S$ 到 $i$ 的容量 $a[i]-avg$ 花費為 $0$ 的邊，如果 $a[i]<avg$，建一條從 $i$ 到 $T$ 的容量 $avg-a[i]$ 花費為 $0$ 的邊。

為了防止從 $S$ 容出的容量直接跑到 $T$，將所有點拆成兩個點 $X_i,Y_i$，對於所有的 $X_i$，分別和 $Y_{i-1},Y_{i+1}$ 建立一條容量無限花費為 $1$ 的邊。

最大花費即為答案。

LibreOJ 6014

給定 $N$ 個區間 $[L_i,R_i]$，選定一些區間，如果集合內包含點 $x$ 的區間不超過 $K$ 個，稱為合法集合，問合法集合的最長長度和為多少。

因為 $L_i,R_i$ 的範圍過大，須將 $[L_i,R_i]$ 離散化，另外要去除重複元素，得到時間段 $T_1,T_2,...,T_M$。

建立一條源點 $s$ 到 $T_1$ 容量為 $K$ 花費為 $0$ 的邊，建立一條 $T_M$ 到匯點 $t$ 容量為 $K$ 花費為 $0$ 的邊，相鄰兩個時間段建立一條容量無限花費為 $0$ 的邊。

對於每個區間 $[L_i,R_i]$，建立一條從 $L_i$ 到 $R_i$ 容量為 $1$ 花費為 $R_i-L_i$ 的邊。

最大花費即為答案。

例題練習

• DAG 的最小路徑覆蓋
  • POJ 1422
  • POJ 2594
  • LibreOJ 6002
  • LibreOJ 6003

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• 最近更新: 2026-05-01
• 本文貢獻者: allem40306,